🎯 Co to je?
Vzdálenost bodu od přímky je délka kolmice spuštěné z bodu na přímku.
Je to nejkratší možná vzdálenost mezi bodem a jakýmkoliv bodem na přímce. Kolmice představuje nejkratší cestu!
📝 Vzorec pro výpočet
Pro bod B = [x₀; y₀] a přímku p: ax + by + c = 0 platí:
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
💡 Jak si vzorec zapamatovat:
1. Do rovnice přímky dosadíš souřadnice bodu
2. Vezmeš absolutní hodnotu výsledku
3. Vydělíš odmocninou součtu čtverců koeficientů a a b
1. Do rovnice přímky dosadíš souřadnice bodu
2. Vezmeš absolutní hodnotu výsledku
3. Vydělíš odmocninou součtu čtverců koeficientů a a b
🔍 Proč absolutní hodnota?
Vzdálenost je vždy kladné číslo, proto použijeme absolutní hodnotu výsledku dosazení.
🔍 Co znamená jmenovatel?
√(a² + b²) je velikost normálového vektoru přímky n = (a; b).
🧮 Příklad krok za krokem
Zadání: Určete vzdálenost bodu B = [2; -1] od přímky p: 3x - 4y + 5 = 0
Krok 1: Identifikuj hodnoty
Přímka p: a = 3, b = -4, c = 5
Bod B: x₀ = 2, y₀ = -1
Bod B: x₀ = 2, y₀ = -1
Krok 2: Dosaď do čitatele
Vypočítej ax₀ + by₀ + c:
3·2 + (-4)·(-1) + 5 = 6 + 4 + 5 = 15
Absolutní hodnota: |15| = 15
Absolutní hodnota: |15| = 15
Krok 3: Vypočítej jmenovatel
Vypočítej √(a² + b²):
√(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Krok 4: Vydělením získáš vzdálenost
d = 15 / 5 = 3
✅ Výsledek: Vzdálenost bodu B od přímky p je 3 jednotky
📚 Další příklady
Příklad 2: Bod A = [1; 1] a přímka p: x + y - 4 = 0
Řešení:
d = |1·1 + 1·1 - 4| / √(1² + 1²)
d = |1 + 1 - 4| / √2
d = |-2| / √2
d = 2 / √2 = 2√2 / 2 = √2 ≈ 1,41
d = |1 + 1 - 4| / √2
d = |-2| / √2
d = 2 / √2 = 2√2 / 2 = √2 ≈ 1,41
Příklad 3: Bod C = [0; 0] (počátek) a přímka p: 5x - 12y + 13 = 0
Řešení:
d = |5·0 - 12·0 + 13| / √(5² + (-12)²)
d = |13| / √(25 + 144)
d = 13 / √169
d = 13 / 13 = 1
d = |13| / √(25 + 144)
d = 13 / √169
d = 13 / 13 = 1
Speciální případ: Bod leží na přímce
Pokud bod leží na přímce, pak jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky, a tedy ax₀ + by₀ + c = 0.
⚠️ Důsledek: Vzdálenost bodu na přímce je d = 0
📊 Vizualizace
Klikni na tlačítka a sleduj různé vzdálenosti bodů od přímky:
Vyber příklad pomocí tlačítek výše
💡 Důležité tipy
- ✓ Vždy použij absolutní hodnotu
- ✓ Vzdálenost je vždy nezáporné číslo
- ✓ Kontrola: bod na přímce má d = 0
- ✓ Zjednodušuj odmocniny (např. √4 = 2)
- ✓ Výsledek zaokrouhli na 2 desetinná místa
⚠️ Časté chyby
- ✗ Zapomenutí absolutní hodnoty
- ✗ Špatné dosazení souřadnic
- ✗ Chyba ve výpočtu odmocniny
- ✗ Záporný výsledek vzdálenosti
- ✗ Použití c místo koeficientů a, b