Odchylka přímek - Naučná stránka

🎯 Co je odchylka?

Odchylka přímek je velikost úhlu, který svírají dvě přímky.

Důležité: Odchylku měříme jako menší z obou úhlů, které přímky svírají. Proto je odchylka vždy v intervalu ⟨0°; 90°⟩.

📝 Vzorec pro výpočet

Pro přímky v obecném tvaru a₁x + b₁y + c₁ = 0 a a₂x + b₂y + c₂ = 0 platí:

cos φ = |a₁·a₂ + b₁·b₂| / (√(a₁² + b₁²) · √(a₂² + b₂²))

kde φ je odchylka přímek

💡 Vysvětlení:
• Čitatel: Absolutní hodnota skalárního součinu normálových vektorů
• Jmenovatel: Součin velikostí normálových vektorů
• Výsledek je v radiánech, převeď na stupně: φ° = φ · 180°/π

🔍 Normálový vektor

Pro přímku ax + by + c = 0 je normálový vektor:
n = (a; b)

Je kolmý na směrový vektor přímky

🔍 Speciální případy

φ = 0°: Přímky jsou rovnoběžné
φ = 90°: Přímky jsou kolmé

🧮 Příklad krok za krokem

Zadání: Určete odchylku přímek p: 3x + 4y - 7 = 0 a q: x - 2y + 1 = 0

Krok 1: Identifikuj koeficienty

Přímka p: a₁ = 3, b₁ = 4
Přímka q: a₂ = 1, b₂ = -2

Krok 2: Vypočítej čitatel

Skalární součin normálových vektorů (v absolutní hodnotě):

|a₁·a₂ + b₁·b₂| = |3·1 + 4·(-2)| = |3 - 8| = |-5| = 5

Krok 3: Vypočítej jmenovatel

Součin velikostí normálových vektorů:

√(a₁² + b₁²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
√(a₂² + b₂²) = √(1² + (-2)²) = √(1 + 4) = √5 = √5

Součin: 5 · √5 = 5√5

Krok 4: Vypočítej kosinus

cos φ = 5 / (5√5) = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,447

Krok 5: Vypočítej úhel

φ = arccos(√5/5) ≈ arccos(0,447) ≈ 63,4°

✅ Výsledek: Odchylka přímek je přibližně 63,4°

⊥ Kolmost přímek

Dvě přímky jsou kolmé, pokud je jejich odchylka rovna 90°.

Podmínka kolmosti:

a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0

Příklad: Ověřte, zda jsou přímky p: 2x - 3y + 1 = 0 a q: 3x + 2y - 5 = 0 kolmé.

Řešení:

a₁·a₂ + b₁·b₂ = 2·3 + (-3)·2 = 6 - 6 = 0

✅ Ano, přímky jsou kolmé!

📌 Směrové vektory kolmých přímek

Pokud má přímka p směrový vektor u = (a; b), pak kolmá přímka má směrový vektor v = (-b; a) nebo v = (b; -a)

📌 Směrnice kolmých přímek

Pokud má přímka směrnici k, pak kolmá přímka má směrnici -1/k

Platí: k₁ · k₂ = -1

📊 Vizualizace odchylek

Prohlédni si různé odchylky přímek:

Vyber úhel pomocí tlačítek výše

💡 Důležité tipy

✓ Vždy použij absolutní hodnotu v čitateli
✓ Odchylka je vždy mezi 0° a 90°
✓ Pro kolmost stačí ověřit a₁a₂ + b₁b₂ = 0
✓ Kalkulačku nastav na stupně (DEG)
✓ Výsledek zaokrouhli na 1 desetinné místo

⚠️ Časté chyby

✗ Zapomenutí absolutní hodnoty
✗ Špatný výpočet velikosti vektoru
✗ Kalkulačka v radiánech místo stupňů
✗ Záměna arccos a cos
✗ Odchylka větší než 90°

📐 Odchylka přímek