Obecná rovnice přímky - Naučná stránka

🎯 Co to je?

Obecná rovnice přímky je nejčastější způsob zápisu přímky v rovině pomocí jediné rovnice.

Na rozdíl od parametrických rovnic (které potřebují dvě rovnice a parametr t), obecná rovnice popisuje celou přímku jednou rovnicí s proměnnými x a y.

📝 Základní vzorec

ax + by + c = 0

kde a, b, c ∈ ℝ a zároveň a ≠ 0 nebo b ≠ 0

📊 Koeficient a

Číslo u x
Ovlivňuje sklon přímky

📊 Koeficient b

Číslo u y
Ovlivňuje sklon přímky

📊 Absolutní člen c

Samostatné číslo
Posouvá přímku

💡 Důležité: Koeficienty a a b nemůžou být oba nula současně (jinak by to nebyla přímka)!

🔍 Speciální případy

Vodorovná přímka

y = k nebo 0x + 1y - k = 0

Koeficient a = 0, přímka rovnoběžná s osou x

Svislá přímka

x = k nebo 1x + 0y - k = 0

Koeficient b = 0, přímka rovnoběžná s osou y

Přímka prochází počátkem

ax + by = 0

Absolutní člen c = 0

Přímka o 45°

x - y + c = 0

Koeficienty a = 1, b = -1

🧮 Příklad krok za krokem

Zadání: Napiš obecnou rovnici přímky procházející body A = [2; 1] a B = [4; 5]

Krok 1: Sestavíme soustavu rovnic

Bod A i bod B musí vyhovovat rovnici ax + by + c = 0. Dosadíme jejich souřadnice:

Pro A[2; 1]: 2a + 1b + c = 0
Pro B[4; 5]: 4a + 5b + c = 0

Krok 2: Odečteme rovnice

Odečteme první rovnici od druhé, abychom eliminovali c:

(4a + 5b + c) - (2a + 1b + c) = 0
2a + 4b = 0
a + 2b = 0
a = -2b

Krok 3: Zvolíme hodnotu b

Můžeme zvolit b = 1 (nebo jakékoliv nenulové číslo):

Pokud b = 1, pak a = -2

Krok 4: Najdeme c

Dosadíme a = -2, b = 1 do první rovnice:

2·(-2) + 1·1 + c = 0
-4 + 1 + c = 0
c = 3

Krok 5: Výsledek

-2x + y + 3 = 0

nebo můžeme vynásobit -1:

2x - y - 3 = 0

✅ Ověření: Zkusme dosadit body:
A[2; 1]: 2·2 - 1 - 3 = 4 - 1 - 3 = 0 ✓
B[4; 5]: 2·4 - 5 - 3 = 8 - 5 - 3 = 0 ✓

🔄 Převody mezi tvary

Z parametrických na obecnou

Máme-li parametrické rovnice x = a₁ + tu₁, y = a₂ + tu₂:

1. Vyjádříme t z obou rovnic
2. Položíme je sobě rovny
3. Upravíme na tvar ax + by + c = 0

Příklad: x = 1 + 2t, y = 2 + 3t

t = (x - 1)/2
t = (y - 2)/3

(x - 1)/2 = (y - 2)/3
3(x - 1) = 2(y - 2)
3x - 3 = 2y - 4
3x - 2y + 1 = 0

Z obecné na směrnicový tvar

Z rovnice ax + by + c = 0 vyjádříme y:

by = -ax - c
y = (-a/b)x - c/b
kde k = -a/b je směrnice a q = -c/b je úsek na ose y

📊 Vizualizace

Graf ukazuje přímku z našeho příkladu: 2x - y - 3 = 0

Aktuální rovnice: 2x - y - 3 = 0

💡 Výhody obecné rovnice

✓ Jediná rovnice ✓ Jednoduchý zápis ✓ Snadné určení rovnoběžnosti ✓ Funguje i pro svislé přímky ✓ Rychlý test bodu na přímce

⚠️ Časté chyby

✗ Zapomenutí "= 0" na konci
✗ Chybné znaménka při úpravách
✗ Záměna koeficientů a, b
✗ Dělení nulou při převodu na y = kx + q
✗ Neověření výsledku dosazením bodů

⚡ Rychlé vzorce

📌 Rovnoběžné přímky

Mají stejné koeficienty a, b:
ax + by + c₁ = 0 || ax + by + c₂ = 0

📌 Kolmé přímky

Platí: a₁·a₂ + b₁·b₂ = 0
Skalární součin normálových vektorů je nula

📌 Vzdálenost bodu od přímky

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

📌 Normálový vektor

n = (a; b)
Vektor kolmý na přímku

📏 Obecná rovnice přímky